תורת המשחקים ומערכות בחירות

מאת: אראל

אל:

נכתב ב: 23:37:20  28.03.2006, כתוספת/תגובה ל: למה אני אוהב מתמטיקה?


נניח שיש שלושה מועמדים המתמודדים לראשות הממשלה: שמאל, מרכז, ימין.
נניח ש- 39% תומכים במועמד השמאל, 21% במועמד המרכז, ו- 40% במועמד הימין.
נבדוק מה כדאי לכל אחד להצביע, בכמה שיטות בחירות שונות.

שיטה א

אם שיטת הבחירות שלנו היא בחירות בסיבוב אחד, אז מועמד הימין ינצח; אבל תומכי השמאל מעדיפים את מועמד המרכז על-פני מועמד הימין, ולכן הם יעדיפו להצביע למועמד המרכז, כדי שיקבל בסה"כ 60% וינצח את מועמד הימין; כלומר, תומכי השמאל צריכים לדעת מראש את התפלגות הקולות, על-מנת שיידעו מה עדיף להם להצביע.

זה מצב לא טוב: מצב שנותן יותר מדי כוח לתקשורת ולסוקרים. עדיף למצוא שיטת בחירות שבה כל אחד מעדיף להצביע למועמד שהוא באמת תומך בו.

אז ננסה שיטת בחירות אחרת.

שיטה ב

נניח שאנחנו קובעים, שאם אף מועמד לא מקבל מעל 50%, עושים סיבוב שני בין שני המועמדים שקיבלו הכי הרבה קולות.
נניח גם, שתומכי המרכז מעדיפים את מועמד השמאל על-פני מועמד הימין.

במקרה זה, אם כל אחד יצביע בעד המועמד שלו בסיבוב הראשון, אז בסיבוב השני יתמודדו מועמד השמאל נגד מועמד הימין; תומכי המרכז יצביעו בעד מועמד השמאל, והוא ינצח; אבל תומכי הימין מעדיפים את מועמד המרכז על-פני מועמד השמאל, ולכן הם יעדיפו להצביע בסיבוב הראשון למועמד המרכז, כדי שהוא ינצח ולא יהיה סיבוב שני. שוב הגענו למצב שחלק מהאזרחים צריכים לדעת מראש מה יהיו התוצאות כדי שיידעו מה להצביע - שוב הסקרים שולטים.

שיטה ג

נניח שכל אחד מתבקש להצביע למועמד שהוא לא רוצה, והמועמד הנבחר הוא המועמד שקיבל הכי פחות קולות. במקרה זה, תומכי המרכז והשמאל יצביעו למועמד הימין והוא יקבל 60% קולות שליליים; תומכי הימין יצביעו למועמד השמאל והוא יקבל 40% קולות שליליים; ומועמד המרכז ייבחר.

במקרה זה, אף אחד לא יכול להשפיע על תוצאות הבחירות לטובתו.

אבל נניח שדעת הקהל היא שונה - נניח ש- 70% תומכים במועמד השמאל, ו- 30% תומכים במועמד הימין. במקרה זה, 70% יצביעו נגד מועמד הימין ו- 30% יצביעו נגד מועמד השמאל, ושוב מועמד המרכז ייבחר.

במקרה זה, לתומכי השמאל עדיף לפצל את ההצבעה שלהם, כך ש 35% יצביעו נגד מועמד הימין, ו 35% יצביעו נגד מועמד המרכז; ואז מועמד השמאל ייבחר כי יהיו לו רק 30% קולות שליליים!

שוב, תומכי השמאל צריכים לדעת מראש מה יהיו התוצאות כדי שיידעו מה להצביע - שוב הסקרים שולטים!

האם יש שיטת בחירות שבה הבעיה הזאת אינה קיימת?

האם יש שיטת בחירות שבה כל בוחר יכול להצביע בלב שקט עבור המועמד שהוא הכי תומך בו / מתנגד לו, בלי להתעצבן אחר-כך על כך שהוא "בזבז את הקול"?

אני לא יודע. אבל, לפי הבנתי הדלה והמועטת בתורת המשחקים, אין שיטת בחירות כזאת. זוהי תוצאה של משפט ידוע בתורת המשחקים שנקרא משפט arrow .

עצוב אבל נכון - אין שיטת בחירות אידיאלית!

תגובות