הסתברות מותנית

מאת: אראל

אל:

תגובה ל: למה אני אוהב מתמטיקה? שנכתבה ב09:24:33  07.02.2005


הסתברות מותנית היא מושג שעוזר לנו כאשר יש בידנו מידע חלקי בלבד על המצב, ואנחנו רוצים לדעת את המידע החסר.

לדוגמה, נניח שאנחנו מתעוררים בבוקר בחדרנו, החלונות סגורים לגמרי, ואנחנו שואלים את עצמנו "מה ההסתברות שיירד היום גשם?"; אנחנו לא זוכרים את העונה ולא רואים את השמיים, אך אנחנו עדיין יודעים שאנחנו נמצאים בארץ ישראל; בארץ ישראל, בערך 30% מהימים הם גשומים (אל תתפסו אותי במספר), ולכן ההסתברות שיהיה גשם היא בערך 0.3:

הסתברות (גשם | ישראל) = 0.3
הקו האנכי שבאמצע מפריד בין המידע שאנחנו רוצים לדעת, לבין המידע שכבר נתון בידנו; אנחנו רוצים לדעת מה ההסתברות שיירד גשם, כאשר נתון לנו שאנחנו בישראל. בכל מקום שרואים את הקו האנכי הזה, יש לקרוא אותו "בהינתן...":
הסתברות (גשם בהינתן ישראל) = 0.3

שימו לב שיש חשיבות רבה לסדר בתוך הסוגריים; למשל, נניח שזורקים אותנו בשדה פתוח במקום כלשהו בעולם, אנחנו לא יודעים איפה, אבל אנחנו רואים שיורד גשם; מה ההסתברות שאנחנו נמצאים בארץ ישראל?

הסתברות (ישראל | גשם) = ???
אני לא יודע מהי הסתברות זו, אולם היא בוודאי קטנה הרבה יותר מ-0.3, כי ההסתברות מלכתחילה שנפלנו דווקא בארץ ישראל היא מאד קטנה. העובדה שיורד גשם עוזרת לנו, אולי, לפסול כמה מדבריות נידחים שבהם אף-פעם לא יורד גשם; אך עדיין יש מקומות רבים בעולם שבהם יורד גשם, ושטחה של ישראל הרבה יותר קטן מ-30% מהשטח הכולל שלהם...

עם זאת, יש נוסחה שמקשרת בין ההסתברויות בשתי הכיוונים: נוסחה זו נקראת נוסחת בייס, והיא אומרת ש:

הסתברות (א | ב) =  הסתברות (ב | א) * הסתברות (א) / הסתברות (ב)

במקרה שלנו:

הסתברות (ישראל | גשם) =  הסתברות (גשם | ישראל) * הסתברות (ישראל) / הסתברות (גשם)

הגורם הסתברות(ישראל) הוא ההסתברות מלכתחילה (אפריורי) להיות בישראל, כלומר - ההסתברות שנפלנו בישראל בלי קשר לשאלה אם יורד גשם או לא; הגורם הסתברות(גשם) הוא ההסתברות מלכתחילה שיורד גשם, כלומר - ההסתברות שיורד גשם בלי קשר לשאלה איפה בעולם אנחנו נמצאים.

ההסתברות שאנחנו בישראל בהינתן שיורד גשם, שווה להסתברות שיורד גשם בהינתן שאנחנו בישראל (שהיא, לפי הנחתנו, 0.3), כפול ההסתברות מלכתחילה שאנחנו בישראל (שהיא מאד קטנה, נניח 0.0001, בערך היחס בין השטח של ישראל לבין השטח של היבשות בעולם), לחלק להסתברות מלכתחילה שיורד גשם (שהיא, נניח, 0.15); בסך-הכל קיבלנו 0.0002 - מספר מאד קטן, כפי שחשבנו קודם...

ההבדל בין שני כיווני ההסתברות המותנית הוא חשוב מאד, אנשים רבים מתבלבלים ביניהם והדבר גורם לטעויות מביכות גם בתחומים עמוקים כמו ההסתברות לבריאת העולם, אך נושא זה חורג מעבר לגבולות המאמר הנוכחי...

הנה כמה דוגמאות ליישומים של רעיון ההסתברות המותנית:

תגובות